Curve celebri
Proff.sse Emilia Mezzetti, Maura Ughi (mezzette@units.it, ughi@units.it)

Lo scopo del laboratorio è far conoscere agli studenti l'evoluzione di alcuni temi della matematica, con la presentazione di problemi fisici che hanno portato all'introduzione e allo studio di curve importanti nella storia della matematica, in particolare problema della brachistocrona e della configurazione di equilibrio di una catena omogenea, problemi matematici semplici ma rilevanti teoricamente, teoricamente e per le applicazioni.
L'obiettivo è sviluppare le capacità di osservazione e modellizzazione in senso matematico di problemi e contemporaneamente sviluppare competenze trasversali, linguistiche, storiche ed informatiche.
Tra gli esiti attesi evidenziamo, oltre alla comprensione delle problematiche in esame, l'utilizzo della lingua inglese, la comprensione di testi tratti da libri e reperiti in Internet e la loro elaborazione, ed infine la produzione di un estratto finale di varie possibili tipologie. 

Gruppi di permutazioni
Proff. Alessandro Logar e Dario Portelli (logar@units.it, porteda@units.it)

Lo scopo del laboratorio è avvicinare i ragazzi ad alcuni concetti piuttosto astratti della matematica facendo vedere come nascono da situazioni pratiche in maniera naturale, cercando di fornire agli studenti coinvolti alcuni strumenti e le nozioni necessarie per comprendere come nasce la nozione di gruppo e qual è la struttura di alcuni gruppi finiti tra i quali quelli dei movimenti rigidi del piano e dello spazio; infine far acquisire senso critico ed abituare al lavoro di gruppo. L'obiettivo è far comprendere l'interesse e le applicazioni dei concetti introdotti, familiarizzare i ragazzi con alcuni strumenti informatici risolvendo alcuni semplici problemi proposti.
Vengono presentate alcune simulazioni costruite con degli applet Java, che permettono di visualizzare e soprattutto interagire con i gruppi delle rotazioni dei solidi platonici: gli applet sono interattivi, in modo da consentire varie prove e sperimentazioni. Con l'utilizzo sia di alcuni modelli concreti dei solidi platonici, sia soprattutto degli applet sopra menzionati, gli studenti sono quindi guidati nello studio di varie nozioni di teoria dei gruppi e in particolare è loro proposta una serie di problemi teorici che, con l'utilizzo dei modelli e con la guida degli insegnanti, possono essere facilmente "visualizzati", discussi e risolti. Gli applet sono provvisoriamente visionabili al sito: http://www.dmi.units.it/~logar/solidiPlatonici.
Alcuni esempi di problemi che si affrontano: calcolo dell'ordine del gruppo delle rotazioni di un solido platonico; classificazione dei gruppi delle rotazioni di un solido platonico; studio dei sottogruppi di un gruppo di rotazioni di un solido platonico; relazione tra tali sottogruppi e le proprietà geometriche del solido platonico... Successivamente si affrontano lo studio di altri esempi di gruppi finiti mentre un'ulteriore simulazione al computer permette anche in questo caso di visualizzare sullo schermo del calcolatore un gruppo di permutazioni definito dall'utente e di studiarne alcune delle sue proprietà.
L'attività si svolge per gruppi seguiti dai docenti avvalendosi di personal computer e software specialistico e alla fine del laboratorio viene valutato il grado di apprendimento degli studenti per mezzo di esercitazioni pratiche.

Il divertimento geometrico
Prof. Dario Portelli (porteda@units.it)

Lo scopo del laboratorio è mostrare come sia possibile fare matematica seriamente, anche con una minima quantità di calcoli, trattando un tema geometrico. Accantonate le situazioni più o meno note della geometria euclidea piana, gli studenti vengono invitati a confrontarsi con le figure geometriche più comuni intorno a noi, le superfici dei corpi solidi che ci circondano. Come succede ogniqualvolta si affronta un problema complesso, per studiare queste superfici è necessario operare a più riprese delle semplificazioni. Questo apparentemente limita la portata delle considerazioni che vengono svolte, ma è un passo indispensabile per poter precisare utilmente via via che si procede sia il punto di vista dell'indagine, sia le specifiche questioni affrontate. Tutto ciò è tipico dell'effettivo modo in cui la Matematica viene fatta, e la possibilità di farlo toccare con mano agli studenti è stata una delle motivazioni per la scelta di questi argomenti come oggetto del laboratorio.
Le semplificazioni menzionate sopra consistono: nell'adottare un punto di vista locale, nello studiare le curve sulle superfici, limitandosi a quelle piane per semplicità, nel linearizzare una curva in un suo punto fissato P mediante la retta tangente. Il confronto tra la curva originale e la sua tangente in P porta con naturalezza al concetto di curvatura. I calcoli espliciti relativi a qualche semplice esempio (mediante il circolo osculatore) sono pressoché gli unici che compaiono in questo laboratorio. Per arricchire l'intuizione della curvatura è possibile far ricorso anche al concetto di accelerazione centripeta. La Cinematica offre inoltre lo spunto di poter considerare una curva come la traiettoria di un moto, quindi permette di puntualizzare che per individuarne un punto è sufficiente assegnare una sola coordinata (tempo o distanza o benzina consumata o ...).
Tutte queste conoscenze sulle curve, al di là della loro utilità tecnica, formano un canovaccio di teoria che può essere ripercorso anche per le superfici. Infatti, una superficie viene DEFINITA come una figura geometrica per determinare un punto della quale ho bisogno di assegnare (localmente) 2 coordinate. Ci si limita, poi, a considerare solo superfici che possono essere linearizzate, per le quali esiste, cioè in ogni punto il piano tangente. Le curve suggeriscono infine l'idea di curvatura (gaussiana) come velocità di allontanamento dal piano tangente. Queste idee verranno introdotte e chiarite mediante numerosi esempi.
Delineata cosí con precisione l'attività, è possibile individuarne le seguenti motivazioni ed obiettivi, quali: sviluppare l'intuizione geometrica - l'intuizione va sempre controllata e rielaborata, questo porta ad un costante esercizio dello spirito critico -; utilizzare concetti ed esperienze presi dalla fisica, qualora questo sia naturale, per educare ad una concezione unitaria della conoscenza; il passaggio dalle curve alle superfici permette, infine, di far vedere un caso non banale di generalizzazione. Ci si aspetta che alla fine del laboratorio i ragazzi coinvolti abbiano raggiunto una migliore conoscenza di alcuni temi e strumenti matematici, ed abbiano migliorato la loro capacità di lavorare in gruppo. Vengono trattate alcune proprietà di tipo differenziale di curve e superfici.
L'approccio didattico è quello "dal semplice al complesso", basato sull'elaborazione di numerosi esempi. I concetti cardine esaminati sono:

• retta tangente ad una curva in un suo punto e piano tangente ad una superficie
• relazioni geometriche possibili tra una curva ed una sua tangente, e tra una superficie e un suo piano tangente;
• curvatura di una curva piana in un suo punto fissato, mediante la costruzione del circolo oscuratore (con CABRI, Maple...);
• sezioni principali di una superficie, curvature principali, curvatura gaussiana.

Si curano le applicazioni di tali idee analizzando situazioni prese dall'architettura (volte, impianti olimpici di Monaco 72 ...), dalla fisica (effetto punte, bolle di sapone, ...), dalla geografia (cartografia). Si usa la metodologia della riflessione guidata su esempi di curve e superfici che si incontrano intorno a noi, modelli realizzati dai ragazzi ed animazioni al computer. Si calcoleranno esplicitamente alcuni semplici esempi.  

Metodi della matematica attraverso i tempi: calcolo di aree e volumi
Prof. ssa Luciana Zuccheri (zuccheri@units.it)

Lo scopo del laboratorio è avvicinare gli studenti più motivati e capaci alla matematica, intesa soprattutto come metodo, e farne apprezzare gli aspetti culturali e storici, ma anche il gusto della attività di ricerca; sviluppare il senso critico; insegnare a confrontarsi con i compagni e a collaborare in gruppo in modo efficiente per il conseguimento di un risultato comune; educare a riconoscere le difficoltà e impegnarsi per superarle.
Tra gli obiettivi ci si prefigge: di far comprendere che la matematica è una disciplina viva, in continua evoluzione, che i risultati ottenuti non nascono in modo isolato e per caso per opera di singoli, che il concetto di rigore matematico si è modificato nel corso della storia non sempre nella direzione di un maggiore rigore; focalizzare alcune tappe di questa evoluzione: il metodo di esaustione della matematica greca alessandrina e il metodo degli indivisibili di Cavalieri e Torricelli, esaminando anche alcune perplessità espresse da Galileo; introdurre al calcolo integrale; avvicinare gli studenti al linguaggio essenzialmente geometrico della matematica greca.
Con il raggiungimento degli obiettivi e l'apprendimento dei contenuti proposti (in particolare i concetti di area e volume e l'introduzione ai metodi del calcolo integrale) si sviluppano le capacità critiche e di ricerca degli studenti, la consapevolezza della necessità di impegnarsi e di non arrendersi di fronte alle difficoltà e l'apprezzamento per gli aspetti culturali della matematica.
Il laboratorio viene dettagliatamente progettato, materiali compresi, dagli insegnanti, in incontri di progettazione di tipo collaborativo, coordinati dal docente universitario, che supporta il gruppo presentando un ventaglio di possibili argomenti, fornendo e aiutando a reperire le fonti adatte e instaurando la discussione sulle metodologie didattiche più appropriate agli scopi. 

Problem solving
Profssa. Edi Rosset (rossedi@units.it)

Lo scopo del laboratorio è avvicinare ed appassionare i ragazzi allo studio della matematica attraverso la risoluzione di problemi, stimolando e sviluppando intuizione, fantasia e la produzione di schemi originali per rappresentare e risolvere problemi matematici, utilizzando tale approccio anche per presentare temi e nozioni nuovi, come il calcolo combinatorio e il calcolo delle probabilità in spazi finiti, spesso trascurati dai programmi scolastici.
Ci si aspetta che, alla fine del percorso di allenamento, i ragazzi coinvolti abbiano raggiunto una migliore conoscenza di alcuni temi e strumenti matematici, migliori capacità di affrontare e risolvere i problemi, maggiori precisione e rigore nell'esposizione delle soluzioni trovate, migliore capacità di collaborazione nella ricerca di un percorso risolutivo e migliore consapevolezza di quali siano i passi necessari alla risoluzione di un problema matematico.
Si propongono agli studenti problemi di matematica con ambientazioni originali ed accattivanti, del tipo di quelli previsti nelle gare di matematica e, a partire da tali problemi, si sollecitano approfondimenti e l'introduzione di temi spesso trascurati dai programmi scolastici.